Question

10．已知等差数列{a_n}的首项为1，前n项和为S_n，且S₁，S₃，S₉成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记T_n为数列{$\frac{1}{{a}_{n+1}{a}_{n}}$}的前n项和，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过设数列{a_n}的公差为d，利用S₁，S₃，S₉成等比数列可知（3+3d）²=9+36d，解出d的值，进而可得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知，当a_n=1时T_n=n；当a_n=2n-1时，裂项、并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，则（3+3d）²=9+36d，
即d（d-2）=0，∴d=0或d=2，
当d=0时，a_n=1；
当d=2时，a_n=2n-1；
（Ⅱ）由（I）可知，当a_n=1时，T_n=n；
当a_n=2n-1时，T_n=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查裂项相消法，考查分类讨论的思想，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．