Question

20．在棱长为1的正四面体内任取一点，则该点落在正四面体内切球内的概率为$\frac{3π}{18}$．

Answer 1

分析 先求出正四面体内切球的半径和体积，结合几何概型的概率公式进行计算即可

解答 解：设正四面体S-ABCD如图所示，
可得它的内切球的球心0必定在高线SH上，
延长AH交BC于点D，则D为BC的中点，连结SD则内切球切SD于点E，连结AO，
∵H是正三角形ABC的中心，
∴AH：HD=2：1，
∵Rt△0AH∽Rt△DSH，
∴$\frac{OA}{OH}=\frac{DS}{DH}$=3，可得OA=30H=S0，
因此，SH=4OH，可得内切球的半径OH=$\frac{1}{4}$SH；
∵正四面体棱长为1，
∴Rt△SHD中，SD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，HD=$\frac{1}{3}$SD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
可得SH=$\sqrt{S{D}^{2}-H{D}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，得内切球的半径r=OH=$\frac{1}{4}$×$\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
在棱长为1的正四面体内任取一点，则该点落在正四面体内切球内的概率为P=$\frac{{V}_{球}}{{V}_{四面体}}$=$\frac{\frac{4}{3}π{×（\frac{\sqrt{6}}{12}）^{3}}^{\;}}{\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×{1}^{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}}$=$\frac{3π}{18}$，
故答案为：$\frac{3π}{18}$．

点评 本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出内切球的半径和体积是解决本题的关键．