Question

5．设[x]表示不超过x的最大整数（如$[2]=2，[\frac{5}{4}]=1$）．对于给定的n（n＞1，n∈N^*），定义$C_n^x=\frac{n（n-1）…（n-[x]+1）}{x（x-1）…（x-[x]+1）}$，x∈[1，+∞），若当$x∈[\frac{3}{2}，3）$时，函数$f（x）=C_n^x$的值域是（a，b]∪（c，d]（a，b，c，d∈R），则n的最小值是（　　）

• A． 5
• B． 6
• C． 7
• D． 8

Answer 1

分析 把定义域分成[$\frac{3}{2}$，2）和[2，3），利用分段函数表示出f（x）的解析式，求出f（x）的值域，根据值域的形式判断两段值域的端点大小，列出不等式解出n．

解答 解：当x∈[$\frac{3}{2}$，2）时，[x]=1，∴f（x）=${C}_{n}^{x}$=$\frac{n}{x}$，∴f（x）在[$\frac{3}{2}$，2）上是减函数，∴f（x）在[$\frac{3}{2}$，2）上的值域为（$\frac{n}{2}$，$\frac{2n}{3}$]．
当x∈[2，3）时，[x]=2，∴f（x）=${C}_{n}^{x}$=$\frac{n（n-1）}{x（x-1）}$，∴f（x）在[2，3）上是减函数，∴f（x）在[2，3）上的值域为（$\frac{{n}^{2}-n}{6}$，$\frac{{n}^{2}-n}{2}$]．
∵函数$f（x）=C_n^x$的值域是（a，b]∪（c，d]，∴$\frac{2n}{3}$＜$\frac{{n}^{2}-n}{6}$或$\frac{{n}^{2}-n}{2}$＜$\frac{n}{2}$．解得n＞5或0＜n＜2．
∵n＞1，n∈N^*，∴n的最小值是6．
故选：B．

点评 本题考查了分段函数的值域，新定义的理解，属于中档题．