Question

4．在△ABC中，sinA：sinB：sinC=3：5：7，且周长为30，则cosA=$\frac{13}{14}$．

Answer 1

分析 由已知及正弦定理可得a：b：c=3：5：7，设a=3k，则b=5k，c=7k，再根据△ABC的周长为3k+5k+7k=15k=30，可得k=2，求得三边长，利用余弦定理即可得解．

解答 解：△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=3：5：7，
故由正弦定理可得a：b：c=3：5：7．
设a=3k，则b=5k，c=7k，再根据△ABC的周长为 3k+5k+7k=15k=30，可得k=2，
故三角形的三边长分别为：a=6，b=10，c=14．
由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{100+196-36}{2×10×14}$=$\frac{13}{14}$．
故答案为：$\frac{13}{14}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．