Question

19．设n∈N^*，数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S_n+1=S_n+a_n+2，a₁，a₂，a₅成等比数列，则求数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1．

Answer 1

分析 通过S_n+1=S_n+a_n+2可知a_n+1=a_n+2，利用a₁，a₂，a₅成等比数列可知$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），进而计算可知数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，整理即得结论．

解答 解：∵S_n+1=S_n+a_n+2，
∴S_n+1-S_n=a_n+2，记a_n+1=a_n+2，
又∵a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴${{a}_{2}}^{2}$=a₁a₅，即$（{a}_{1}+2）^{2}$=a₁（a₁+8），
解得：a₁=1，
∴数列{a_n}是首项为1、公差为2的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
故答案为：2n-1．

点评 本题考查数列的通项，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．