Question

14．已知：实系数一元二次方程x²+px+q=0有虚根α=-1+$\sqrt{3}$i，另一根为β．
（1）求：实数p，q的值；
（2）求：α²+β²的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得另一根为β=-1-$\sqrt{3}$i，由韦达定理可得；
（2）把α和β代入α²+β²，化简可得．

解答 解：（1）∵实系数一元二次方程x²+px+q=0有虚根α=-1+$\sqrt{3}$i，
∴方程必有另一根为β=-1-$\sqrt{3}$i，
∴由韦达定理可得α+β=-2=-p，αβ=4=q，
∴p=2，q=4；
（2）α²+β²=（-1+$\sqrt{3}$i）²+（-1-$\sqrt{3}$i）²
=-2-2$\sqrt{3}$i-2+2$\sqrt{3}$i=-4

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，涉及实系数一元二次方程的根的关系，属基础题．