Question

6．设函数f（x）=1g（1+x）-lg（1-x）
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若f（a）＞0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由对数式的真数大于0联立不等式组求出函数的定义域，然后再由f（-x）+f（x）=0可得函数为奇函数；
（2）由f（a）＞0，求解对数不等式得答案．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}{1+x＞0}\\{1-x＞0}\end{array}\right.$，得-1＜x＜1，
∴函数f（x）=1g（1+x）-lg（1-x）的定义域为（-1，1），
又f（-x）+f（x）=lg（1-x）-lg（1+x）+1g（1+x）-lg（1-x）=0，
∴函数f（x）为定义域上的奇函数；
（2）由f（a）＞0，得1g（1+a）-lg（1-a）＞0，
即1g（1+a）＞lg（1-a），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1＜a＜1}\\{1+a＞1-a}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查函数奇偶性的判断，考查了对数不等式的解法，是中档题．