Question

7．已知集合A={f（x）|f（x）=xln（ax）}和B={h（x）|h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$}的交集有且只有2个子集．
（1）求实数a的值；
（2）若对于任意的x∈[1，+∞），f（x）≤m（x²-1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据题意可知故函数f（x）的最小值为-$\frac{1}{e}$，利用导函数求出f（x）的最小值得出-$\frac{1}{ae}$=-$\frac{1}{e}$，a=1；
（2）不等式可转化为即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），构造函数令h=lnx，n=m（x-$\frac{1}{x}$），分别求导，由题意可知，只需h'≥n'，得出答案．

解答 解：（1）h（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，h'（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
∴函数在（-∞，1）上递增，在（1，+∞）上递减，
∴h（x）的最大值为h（1）=-$\frac{1}{e}$，
∵交集有且只有2个子集，
∴交集只有一个元素，故函数f（x）的最小值为-$\frac{1}{e}$，
∵f'（x）=ln（ax）+1，
∴a＞0且x=$\frac{1}{ae}$时，f'（x）=0，
∴f（x）≥f（$\frac{1}{ae}$）=-$\frac{1}{ae}$，
∴-$\frac{1}{ae}$=-$\frac{1}{e}$，
∴a=1；
（2）由题知f（x）=xlnx，
若f（x）≤m（x²-1）恒成立，即lnx≤m（x-$\frac{1}{x}$），
令h=lnx，n=m（x-$\frac{1}{x}$），
∴h'=$\frac{1}{x}$，n'=m（1+$\frac{1}{{x}^{2}}$），
∵x∈[1，+∞），
∴只需h'≥n'，
∴m≥$\frac{x}{{x}^{2}+1}$，
∴m$≥\frac{1}{2}$．

点评 考查了集合的概念和导函数的利用，难点是函数的构造，求导．