Question

2．如果一对兔子每月能生一对小兔子（一雄一雌），而每1对小兔子在它出生后的第三个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，有1对初生的小兔子开始，n个月后会有a_n对兔子（a₁=1，a₂=1，a₃=2，a₄=3，a₅=5…），设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$，数列{b_n}的前n项和S_n，则S_n与2的大小关系是S_n＜2．（填“＞”、“＜”或“=”）

Answer 1

分析 由已知可得：a_n+2=a_n+1+a_n＞0，可得b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：由已知可得：a_n+2=a_n+1+a_n＞0，
∴b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}{a}_{n+2}}$=$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}（{a}_{n+1}+{a}_{n}）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n+1}+{a}_{n}}$，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=$（\frac{1}{{a}_{1}}-\frac{1}{{a}_{1}+{a}_{2}}）$+$（\frac{1}{{a}_{2}}-\frac{1}{{a}_{2}+{a}_{3}}）$+$（\frac{1}{{a}_{3}}-\frac{1}{{a}_{3}+{a}_{4}}）$+…+$（\frac{1}{{a}_{n-1}}-\frac{1}{{a}_{n-1}+{a}_{n}}）$+$（\frac{1}{{a}_{n}}-\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}）$
=$\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{1}{{a}_{2}}$-$\frac{1}{{a}_{n-1}+{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$
=2-$\frac{1}{{a}_{n-1}+{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+{a}_{n+1}}$＜2．
故答案为：＜．

点评 本题考查了“斐波那契数列”的通项公式及其性质、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．