Question

14．如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，Q为AB的中点
（Ⅰ）证明；CQ⊥平面ABE
（Ⅱ）求多面体ACED的体积
（Ⅲ）求二面角A-DE-B的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出BE⊥平面ABC，从而CQ⊥BE，再求出CQ⊥AB，由此能证明CQ⊥平面ABE．
（Ⅱ）过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，推导出AM⊥平面BEDC，从而${V}_{A-CED}=\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AM$，由此能求出多面体ACED的体积．
（Ⅲ）延长EO，交BC延长线于S，过点M作MQ⊥ES于Q，连结AQ，则∠AQM为A-DE-B的平面角，由此能求出二面角A-DE-B的正切值．

解答 证明：（Ⅰ）∵DC⊥平面ABC，BE∥DC，
∴BE⊥平面ABC，
∴CQ⊥BE，
又∵AC=BC=2，点Q为AB边中点，
∴CQ⊥AB，
∵AB∩BE=B，∴CQ⊥平面ABE．
（Ⅱ）过点A作AM⊥BC，交BC延长线于点M，
∵AM⊥BC，AM⊥BE，
∴AM⊥平面BEDC，
∴${V}_{A-CED}=\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AM$，
∴AM=$AC•sin\frac{π}{3}$=$\sqrt{3}$，${S}_{△CDE}=\frac{1}{2}×1×2=1$，
∴多面体ACED的体积${V}_{A-CED}=\frac{1}{3}×1×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
（Ⅲ）延长EO，交BC延长线于S，
过点M作MQ⊥ES于Q，连结AQ，
由（Ⅱ）得∠AQM为A-DE-B的平面角，
∵CD$\underset{∥}{=}$$\frac{1}{2}$BC，∴SC=CB=2，
∴SE=$\sqrt{B{E}^{2}+S{B}^{2}}$=$2\sqrt{5}$，
MC=MS=1，
△SQM∽△SBE，∴$\frac{QM}{BE}=\frac{SM}{SE}$，
∴$\frac{QM}{2}=\frac{1}{2\sqrt{5}}$，∴QM=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴∠AQM=$\frac{AM}{QM}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{5}}{5}}$=$\sqrt{15}$．
∴二面角A-DE-B的正切值为$\sqrt{15}$．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查多面体的体积的求法，考查二面角的正切值的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．