Question

19．如图，△AOB为等腰直角三角形，OA=l，OC为斜边AB的髙，点P在射线OC 上，则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$的最小值为（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{4}$
• C． -$\frac{1}{8}$
• D． 0

Answer 1

分析 根据平面向量的线性运算与数量积运算，设|$\overrightarrow{OP}$|=t，利用t表示$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$，求二次函数的最小值即可．

解答 解：由$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$，
设|$\overrightarrow{OP}$|=t，t≥0，
则$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OP}$²-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$
=t²-1×t×cos$\frac{π}{4}$
=t²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t
=（t-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）²-$\frac{1}{8}$；
所以，当t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$时，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$取得最小值为-$\frac{1}{8}$．
故选：C．

点评 本题考查了平面向量的三角形法则，向量数量积的运算性质以及二次函数的单调性问题，是综合性题目．