Question

椭圆G：的两个焦点F1（－c，0）、F2（c，0），M是椭圆上的

一点，且满足

（Ⅰ）求离心率e的取值范围；

（Ⅱ）当离心率e取得最小值时，点N（0，3）到椭圆上的点的最远距离为求此时

椭圆G的方程；（ⅱ）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆G相交于不同的两点A、B，Q

为AB的中点，问A、B两点能否关于过点的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由.

Answer 1

 解（I）设M（x0，y0）

                 ①

又  ②

由②得代入①式整理得

又

解得

 

（Ⅱ）（i）当

设H（x，y）为椭圆上一点，则

若0

由（舍去）

若b≥3，当y=－3时，|HN|2有最大值2b2+18

由2b2+18=50得b2=16

∴所求椭圆方程为

（ii）设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则由

             ③

又直线PQ⊥直线l    ∴直线PQ方程为

将点Q（x0，y0）代入上式得，    ④

由③④得Q

（解1）而Q点必在椭圆内部  

由此得

故当时A、B两点关于点P、Q的直线对称.

（解2）∴AB所在直线方程为

由得

显然1+2k2≠0

而

   

直线l与椭圆有两不同的交点A、B  ∴△＞0

解得

故当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称。

（ii）另解；设直线l的方程为y=kx+b

由得

设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0），则

      ③

又直线PQ⊥直线l    ∴直线PQ方程为

将点Q（x0，y0）代入上式得，    ④

将③代入④⑤

∵x1，x2是（*）的两根

⑥

⑤代入⑥得

∴当时，A、B两点关于点P、Q的直线对称.