Question

已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，其图象经过点M(

π

3

，

1

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知α，β∈(0，

π

2

)，且f(α)=

3

5

，f(β)=

12

13

，求f（α-β）的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意求出A，图象经过点M(

π

3

，

1

2

)，代入方程求出φ，然后求f（x）的解析式；
（2）α，β∈(0，

π

2

)，且f(α)=

3

5

，f(β)=

12

13

，求出cosα=

3

5

，cosβ=

12

13

，然后求出sinα，sinβ，利用两角差的余弦函数求f（α-β）的值．

解答：解：（1）依题意有A=1，则f（x）=sin（x+φ），将点M(

π

3

，

1

2

)代入得sin(

π

3

+φ)=

1

2

，而0＜φ＜π，∴

π

3

+φ=

5

6

π，∴φ=

π

2

，故f(x)=sin(x+

π

2

)=cosx．
（2）依题意有cosα=

3

5

，cosβ=

12

13

，而α，β∈(0，

π

2

)，∴sinα=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，sinβ=

1-( 12 13 )2

=

5

13

，f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=

3

5

×

12

13

+

4

5

×

5

13

=

56

65

．

点评：本题是基础题，考查三角函数的解析式的求法，以及两角差的余弦函数公式的应用，是常考题．