Question

设F₁、F₂分别为双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左、右焦点，动点P满足

PF1

•

PF2

=0，若直线l：3x-4y-10=0与点P的轨迹有且只有一个公共点，则下列结论正确的是（　　）

• A、a²+b²=2
• B、a²-b²=2
• C、a²+b²=4
• D、a²-b²=4

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：动点P满足

PF1

•

PF2

=0，可知：点P的轨迹是以线段F₁F₂为直径的圆，其轨迹方程为x²+y²=c²．由于直线l：3x-4y-10=0与点P的轨迹有且只有一个公共点，因此直线l与圆相切，利用切线的性质和双曲线的性质即可得出．

解答： 解：∵动点P满足

PF1

•

PF2

=0，∴

PF1

⊥

PF2

．
∴点P的轨迹是以线段F₁F₂为直径的圆，其轨迹方程为x²+y²=c²．
由于直线l：3x-4y-10=0与点P的轨迹有且只有一个公共点，
因此直线l与圆相切：∴

10

32+(-4)2

=c，化为c=2．
∴a²+b²=4．
故选：C．

点评：本题综合考查了双曲线的性质、直线与圆相切的性质、向量垂直与数量积的关系、圆的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．