Question

11．已知$m=\int_0^2{（{2x+1}）dx}$，则${（{\frac{1}{x}+\sqrt{x}}）^m}$的展开式中常数项为15．

Answer 1

分析 首先计算定积分，求出m，得到二项式，然后求展开式的通项，确定满足条件的r值，计算常数项．

解答 解：$m=\int_0^2{（{2x+1}）dx}$=（x²+x）|${\;}_{0}^{2}$=6，
则（$\frac{1}{x}+\sqrt{x}$）⁶的展开式的通项为${C}_{6}^{r}{x}^{-6+\frac{3r}{2}}$，
当r=4时为常数项，所以常数项为${C}_{6}^{4}={C}_{6}^{2}$=15．
故答案为：15．

点评 本题考查了定积分的计算以及二项式定理的运用；熟练掌握二项展开式的通项是关键．