Question

1．在一次抽样调査中测得样本的6组数据，得到一个变量y关于x的回归方程模型，其对应的数值如表

x	2	3	4	5	6	7
y	3.00	2.48	2.08	1.86	1.48	1.10

（Ⅰ）请用相关系数r加以说明y与x之间存在线性相关关系（当|r|＞0.81时，说明y与x之间具有线性相关关系）；
（Ⅱ）根据（I ）的判断结果，建立y关于x的回归方程并预测当x=9时，对应的y值为多少（b精确到0.01）
附参考公式：回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，相关系数r公式为：r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$
参考数据：$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}$=47.64，$\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}$=139，$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=4.18，$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1.53．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，利用公式计算相关系数r，由此说明x与y之间存在相关关系；
（Ⅱ）求出回归系数$\stackrel{∧}{b}$、$\stackrel{∧}{a}$，写出回归方程，利用回归方程求出x=9时$\stackrel{∧}{y}$的值．

解答 解：（Ⅰ）由题意得$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$（2+3+4+5+6+7）=4.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$（3+2.48+2.08+1.86+1.48+1.10）=2，

且$\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}$=47.64，$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=4.18，$\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}$=1.53；
∴相关系数r=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}\sum_{i=1}^{n}（{y}_{i}-\overline{y}）^{2}}}$=$\frac{47.64-6×4.5×2}{4.18×1.53}$=-$\frac{6.36}{6.3954}$≈-0.99，
由|r|＞0.81，说明x与y之间存在相关关系；
（Ⅱ）由$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{47.64-6×4.5×2}{139-6{×4.5}^{2}}$=-$\frac{6.36}{17.5}$≈-0.36，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=2-（-0.36）×4.5=3.62，
所以x与y的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=-0.36x+3.62，
将x=9代入线性回归方程得$\stackrel{∧}{y}$=-0.36×9+3.62=0.38．

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了相关系数的应用问题，是中档题．