Question

19．已知函数f（x）=x²+（2a-1）x+1，若对区间（2，+∞）内的任意两个不等实数x₁，x₂都有$\frac{f（{x}_{1}-1）-f（{x}_{2}-1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-$\frac{1}{2}$]
• B． [-$\frac{5}{2}$，+∞）
• C． [-$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （-∞，$-\frac{5}{2}$]

Answer 1

分析 利用已知条件判断函数的对称轴与单调性的关系，列出不等式求解即可．

解答 解：函数f（x）=x²+（2a-1）x+1，若对区间（2，+∞）内的任意两个不等实数x₁，x₂都有$\frac{f（{x}_{1}-1）-f（{x}_{2}-1）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即$\frac{f（{x}_{1}-1）-f（{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}-1）-（{x}_{2}-1）}$＞0，x₁-1，x₂-1∈（1，+∞），
可得：f（x）在区间（1，+∞）上是增函数，
二次函数的对称轴为：x=$-\frac{2a-1}{2}$，
可得：$-\frac{2a-1}{2}≤1$，解得a≥$-\frac{1}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，考查计算能力．