Question

已知函数f（x）=lg[（a²-1）x²+（a+1）x+1]，设命题p：“f（x）的定义域为R”；命题q：“f（x）的值域是R”．
（1）若命题p为真，求实数a的取值范围；
（2）若命题p为假，命题q为真时，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：（1）命题p为真，即f（x）的定义域为R，即（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0的解集为R，所以讨论a²-1=0，和a²-1≠0．a²-1=0时，容易得到a=-1时满足不等式解集为R，当a²-1≠0时，要使不等式的解集为R，则

a2-1＞0 (a+1)2-4(a2-1)＜0

，解该不等式并合并a=-1，便可得到a的取值范围；
（2）先求命题q为真时a的取值范围，要使f（x）的值域为R，则可设函数y=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域为B，则有（0，+∞）⊆B，对于a²-1=0的情况，容易判断a=-1满足（0，+∞）⊆B，而a²-1≠0时，需满足

a2-1＞0 (a+1)2-4(a2-1)≥0

，求出该不等式的解合并a=-1即得a的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）的定义域为R，则（a²-1）x²+（a+1）x+1＞0的解集为R；
∴若a²-1=0，a=±1，a=1时2x+1＞0，该不等式的解集不为R，即a≠1；a=-1时，1＞0，该不等式解集为R；
若a²-1≠0，则

a2-1＞0 (a+1)2-4(a2-1)＜0

，解得a＜-1，或a＞

5

3

；
∴实数a的取值范围是（-∞，-1]∪(

5

3

，+∞)；
（2）若f（x）的值域是R，则设y=（a²-1）x²+（a+1）x+1的值域为B，则（0，+∞）⊆B；
若a²-1=0，a=±1，a=1时，y=2x+1，该函数的值域为R，满足（0，+∞）⊆R，a=-1时，y=1显然不满足（0，+∞）⊆B，即a≠-1；
若a²-1≠0，即a≠±1，要使（0，+∞）⊆B，则

a2-1＞0 (a+1)2-4(a2-1)≥0

，解得1＜a≤

5

3

；
∴1≤a≤

5

3

；
∴实数a的取值范围是：[1，

5

3

]．

点评：考查一元二次不等式的解和判别式△的关系，二次函数值域的情况和判别式的关系，以及子集的概念．