Question

1．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}}$）（ω＞0），f（${\frac{π}{6}}$）=f（${\frac{π}{3}}$），且f（x）在（${\frac{π}{2}$，π）上单调递减，则ω=1．

Answer 1

分析 利用整体思想利用区间与区间的子集关系求出ω的范围，进一步利用代入法进行验证求出结果．

解答 解：函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}}$）（ω＞0），
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤ωx+$\frac{π}{4}}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
取k=0，得：$\frac{π}{4ω}$≤x≤$\frac{5π}{4ω}$，
∵f（x）在（${\frac{π}{2}$，π）上单调递减，
∴$\frac{π}{4ω}$≤$\frac{π}{2}$＜x＜π≤$\frac{5π}{4ω}$，k∈Z．
解不等式组得到：$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$，
∵f（${\frac{π}{6}}$）=f（${\frac{π}{3}}$），
∴函数f（x）的一个中心的横坐标是：x=$\frac{\frac{π}{6}+\frac{π}{3}}{2}$=$\frac{π}{4}$，
令$\frac{π}{4}}$ω+$\frac{π}{4}}$=kπ，k∈Z，则ω=4k+1．k∈Z．
又∵$\frac{1}{2}$≤ω≤$\frac{5}{4}$，
∴ω=1．
故答案是：1．

点评 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，带入验证法的应用，属于基础题型．