Question

4．已知向量$|{\vec a}|$=1，$|{\vec b}|$=1，$\vec a$与$\vec b$的夹角为60°，设向量$\vec c$=2$\vec a$-$\vec b$，$\vec d$=$\vec a$-2$\vec b$，求：
（Ⅰ）向量$\vec c$和$\vec d$的模；
（Ⅱ）向量$\vec c$和向量$\vec d$的夹角．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$|{\vec a}|$=1，$|{\vec b}|$=1，$\vec a$与$\vec b$的夹角为60°，再根据向量模的性质即可求出向量$\vec c$和$\vec d$的模；
（Ⅱ）设向量$\vec c$和向量$\vec d$的夹角为θ，再求出$\overline{c}•\overline{d}$的值，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{d}|}$，代值计算即可求出向量$\vec c$和向量$\vec d$的夹角．

解答 解：（Ⅰ）∵$|{\vec a}|$=1，$|{\vec b}|$=1，$\vec a$与$\vec b$的夹角为60°，
∴$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$=$\sqrt{（2\overrightarrow{a}-b）^{2}}=\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}-4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos60°+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4-4×1×1×\frac{1}{2}+1}=\sqrt{3}$；
$|\overrightarrow{d}|=\sqrt{{\overrightarrow{d}}^{2}}$=$\sqrt{（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）^{2}}$=$\sqrt{{\overline{a}}^{2}-4|\overline{a}||\overline{b}|cos60°+4{\overline{b}}^{2}}$=$\sqrt{1-4×1×1×\frac{1}{2}+4×1}=\sqrt{3}$；
（Ⅱ）设向量$\vec c$和向量$\vec d$的夹角为θ，
∵$\overline{c}•\overline{d}$=$（2\overline{a}-\overline{b}）•（\overline{a}-2\overline{b}）$=$2{\overline{a}}^{2}-5|\overline{a}||\overline{b}|cos60°+2{\overline{b}}^{2}$=$2-5×\frac{1}{2}+2=\frac{3}{2}$，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}}{|\overrightarrow{c}||\overrightarrow{d}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{1}{2}$，即θ=$\frac{π}{3}$．
∴$\vec c$和向量$\vec d$的夹角为$\frac{π}{3}$．

点评 本题主要考查平面向量数量积的运算，考查了向量的模的求法以及求两个向量的夹角，两个向量数量积的定义，属于中档题．