Question

9．已知函数f（x）（x∈R）满足：①?x∈R，有f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）成立；②?x₀∈R，使f（x₀）≠0，则下列结论中错误的是（　　）

• A． f（0）=2
• B． 函数f（x）是偶函数
• C． 函数f（x）是奇函数
• D． [f（x）+1][f（x）-1]=f（2x）+1

Answer 1

分析 令x=y=0计算f（0），再令y=0进行验证，即可得出f（0），令x=0判断函数的奇偶性，令x=y判断D选项．

解答 解：令x=y=0，得f²（0）=2f（0），
∴f（0）=0或f（0）=2，
若f（0）=0，令y=0，得f（x）f（0）=2f（x），
∴f（x）=0，与②矛盾．
∴f（0）=2，∴f（x）不是奇函数．故A正确，C错误．
令x=0得2f（y）=f（y）+f（-y），
∴f（y）=f（-y），∴f（x）是偶函数．故B正确．
令x=y得f²（x）=f（2x）+f（0）=f（2x）+2，
∴[f（x）+1][f（x）-1]=f²（x）-1=f（2x）+2-1=f（2x）+1，故D正确．
故选C．

点评 本题考查了抽象函数的性质，理解x，y的任意性是解题的关键，属于中档题．