Question

14．对数列{a_n}，规定{△a_n}为数列{a_n}的一阶差分数列，其中△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*）；一般地，规定{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，其中△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（n，k∈N^*，k≥2）．已知数列{a_n}的通项公式a_n=n²+n
①△a_n=2n+2；
②数列{△³a_n}既是等差数列，又是等比数列；
③数列{△a_n}的前n项之和为a_n=n²+n；
④{△²a_n}的前2015项之和为4030．
则以下结论正确的命题个数为（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据△a_n=a_n+1-a_n 计算可得①正确．根据△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，得{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，故对数列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故②不正确．
计算数列{△a_n}的前n项之和的值，可得③不正确． 根据{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，求得{△²a_n}的前2015项之和的值，可得④正确．

解答 解：由于△a_n=a_n+1-a_n（n∈N^*），{△^ka_n}为数列{a_n}的k阶差分数列，△^ka_n=△^k-1a_n+1-△^k-1a_n（n，k∈N^*，k≥2）．a_n=n²+n
故△a_n=a_n+1-a_n =（n+1）²+（n+1）-[n²+n]=2n+2，故①正确．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，故对数列{△³a_n}，△³a_n=2-2=0，故数列{△³a_n}是等差数列，但不是等比数列，故②不正确．
数列{△a_n}的前n项之和为△a₁+△a₂+…+△a_n=a₂-a₁+a₃-a₂+…+a_n+1-a_n=a_n+1-a₁=（n+1）²+（n+1）-[1+1]=n²+3n，故③不正确．
由于△²a_n=2（n+1）+2-（2n+2）=2，∴{△²a_n}是首项为2，公差为0的等差数列，{△²a_n}的前2015项之和为 2×2015=4030，故④正确．
故选：C．

点评 本小题以新定义为载体主要考查等差数列、等比数列的定义的基础知识，考查观察、猜想并进行证明的数学思想方法，还考查了把新的定义转化为利用所学知识进行求解的能力．