Question

14．已知函数f（x）=sin（ωx+$\frac{π}{4}$）（ω＞0）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{3}$．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求最小正实数m，使得f（x）图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$，利用周期公式可求ω的值，进而可得函数f（x）的解析式；
（2）利用三角函数的图象关系，结合三角函数的奇偶性即可得到结论．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵相邻两条对称轴之间的距离等于$\frac{π}{3}$，
∴$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{3}$，
∴T=$\frac{2π}{3}$=$\frac{2π}{|ω|}$，
解得：ω=±3，
∵ω＞0
∴ω=3，
∴f（x）=sin（3x+$\frac{π}{4}$）．
（2）∵f（x）图象向左平移m个单位后所对应的函数是：
g（x）=sin[3（x+m）+$\frac{π}{4}$]=sin（3x+3m+$\frac{π}{4}$），
∵g（x）是偶函数，当且仅当3m+$\frac{π}{4}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
∴m=$\frac{kπ}{3}$+$\frac{π}{12}$（k∈Z），从而最小正实数m=$\frac{π}{12}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，以及函数图象的平移变换，求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．