【题目】函数.
(1)求函数的最大值;
(2)对于任意,且
,是否存在实数
,使
恒
成立,若存在求出的范围,若不存在,说明理由;
(3)若正项数列满足
,且数列
的前
项和为
,试判断
与
的大小,并加以证明.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
试题分析:(1)求出函数的定义域、导数,由导数的符号可知函数的单调性,根据单调性即可得到函数的最大值;(2)
恒成立,只需
,可设
,又
,则只需
在
上为单调递减函数,从而有
在
上恒成立,分量参数
后化为函数的最值,利用导数求解最值即可;(3)由
,得
,知数列
为等差数列,得
,比较
与
大小,只需比较
与
的大小,由(1)知,
,即
,分别令
,可得
个不等式,累加可知结论.
试题解析:(1) ,
则,
所以函数单调递减,
函数单调递增.
从而
(2)若恒成立,
则,
设函数,又
,
则只需函数在
上为单调递减函数,
即在
上恒成立,
则,
记,则
,从而
在
上单调递减,在
单调递增,
故,
则存在,使得不等式恒成立.
(3)由.
即,由
,得
,
因为,由(1)知
时,
,
故,
即
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【题目】2016年一交警统计了某段路过往车辆的车速大小与发生的交通事故次数,得到如下表所示的数据:
车速 | |||||
事故次数 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出关于
的线性回归方程
;
(3)试根据(2)求出的线性回归方程,预测2017年该路段路况及相关安全设施等不变的情况下,车速达到时,可能发生的交通事故次数.
(参考数据:)
[参考公式:]
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【题目】已知偶函数满足:当
时,
,
,当
时,
.
()求当
时,
的表达式.
()若直线
与函数
的图象恰好有两个公共点,求实数
的取值范围.
()试讨论当实数
,
满足什么条件时,函数
有
个零点且这
个零点从小到大依次成等差数列.
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【题目】某工厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸
之间满足关系式
为大于
的常数),现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
对数据作了处理,相关统计量的值如下表:
(1)根据所给数据,求关于
的回归方程(提示:由已知,
是
的线性关系);
(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品,现从抽取的6件合格产品再任选3件,求恰好取得两件优等品的概率;
(附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计值分别为
)
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【题目】为了解某校高三毕业生报考体育专业学生的体重(单位:千克)情况,将他们的体重数据整理后得到如下频率分布直方图,已知图中从左至右前3个小组的频率之比为1:2:3,其中第2小组的频数为12.
(Ⅰ)求该校报考体育专业学生的总人数;
(Ⅱ)已知A, 是该校报考体育专业的两名学生,A的体重小于55千克,
的体重不小于70千克,现从该校报考体育专业的学生中按分层抽样分别抽取体重小于55千克和不小于70千克的学生共6名,然后再从这6人中抽取体重小于55千克学生1人,体重不小于70千克的学生2人组成3人训练组,求A不在训练组且
在训练组的概率.
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【题目】(本小题满分13分)如图所示,已知以点为圆心的圆与直线
相切.过点
的动直线
与圆
相交于
,
两点,
是
的中点,直线
与
相交于点
.
(1)求圆的方程;
(2)当时,求直线
的方程.
(3)是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由.
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