Question

已知双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，点P（-2，0）到其渐近线的距离为

2 6

3

，过点P作斜率为

2

2

的直线与双曲线交于A，B两点，与y轴交于点M，|PM|是|PA|与|PB|的等比中项，则双曲线的半焦距为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用点P（-2，0）到其渐近线的距离为

2 6

3

，可求双曲线G的渐近线的方程；利用渐近线设出双曲线G的方程，把直线l的方程与双曲线G的方程联立求出A，B两点的坐标之间的关系式，再利用|PA|•|PB|=|PM|²．即可求出双曲线G的方程，从而可得双曲线的半焦距．

解答： 解：设双曲线G的渐近线的方程为y=kx，
因为点P（-2，0）到其渐近线的距离为

2 6

3

，
所以

|2k|

k2+1

=

2 6

3

，
所以k=±

2

，即双曲线G的渐近线的方程为y=±

2

x．
设双曲线G的方程为2x²-y²=m，
把直线l的方程y=

2

2

（x+2）代入双曲线方程，
整理得3x²-4x-4-2m=0，
则x_A+x_B=

4

3

，x_Ax_B=-

4+2m

3

．（*）
∵|PA|•|PB|=|PM|²，P、A、B、M共线且P在线段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_M）²，即（x_B+2）（-2-x_A）=4，
整理得2（x_A+x_B）+x_Ax_B+8=0．
将（*）代入上式得m=14，
∴双曲线的方程中a²=7，b²=14，
∴c²=21，∴c=

21

．
故答案为：

21

．

点评：本题涉及到双曲线标准方程的求法问题．因为双曲线的标准方程有两种形式，所以在设方程之前一定要先看焦点所在位置．