Question

（本小题满分13分）已知经过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，若存在一定点，使得无论怎样运动，总有直线的斜率与的斜率互为相反数．

（1）求与的值；

（2）对于椭圆：，经过它左焦点的直线与椭圆交于、两点，是否存在定点，使得无论怎样运动，都有？若存在，求出坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1），；（2）存在定点，使得.

【解析】

试题分析：（1）先根据条件得到，进而可确定；设，，联立直线与抛物线的方程，消去得到，进而根据二次方程根与系数的关系得出，，由条件：无论怎样运动，直线的斜率与的斜率互为相反数，得出，进而可确定的值；（2）满足条件的必在轴上，进而联立方程，消去得到，再利用二次方程根与系数的关系，并结合已知条件，即可推导出存在定点满足题意.

试题解析：（1）∵直线经过抛物线的焦点为， ∴，∴

直线代入得，设，

则，，∵得无论怎样运动，直线的斜率与的斜率互为相反数

∴无论、怎样变化，总有，即

∵，∴

（2）直线垂直于轴时，、两点关于轴对称

∵，∴要使，则必在轴上，设点

直线不垂直于轴时，设，设，

代入得

∴，

∵，∴直线的斜率与的斜率互为相反数

即

∴，∵以上每步可逆

∴存在定点，使得．

考点：1.直线与抛物线的位置关系；2.直线与椭圆的位置关系；3.二次方程根与系数的关系.

考点分析： 考点1：椭圆的标准方程 考点2：椭圆的几何性质 考点3：抛物线的标准方程 考点4：抛物线的几何性质 试题属性

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