Question

如图1­5，在四棱锥A ­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝.

(1)证明：DE⊥平面ACD；

(2)求二面角B ­ AD ­ E的大小．

图1­5

Answer 1

解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝，

由AC＝，AB＝2，

得AB²＝AC²＋BC²，即AC⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，

所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.

(2)方法一：

过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B ­ AD ­ E的平面角．

在直角梯形BCDE中，由CD²＝BC²＋BD²，

得BD⊥BC.

又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.

在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝，得AD＝.

在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝，得AE＝.

在Rt△ABD中，由BD＝，AB＝2，AD＝，得BF＝，AF＝AD.从而GF＝ED＝.

在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝，BG＝.

在△BFG中，cos∠BFG＝＝.

所以，∠BFG＝，即二面角B ­ AD ­ E的大小是.

方法二：

以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D ­ xyz，如图所示．

由题意知各点坐标如下：

D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0)，

A(0，2，)，B(1，1，0)．

设平面ADE的法向量为m＝(x₁，y₁，z₁)，

平面ABD的法向量为n＝(x₂，y₂，z₂)．

可算得AD＝(0，－2，－)，AE＝(1，－2，－)，＝(1，1，0)．