Question

若函数y=f（x）对定义域的每一个值x₁，在其定义域内都存在唯一的x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，则称该函数为“依赖函数”．给出以下命题：
①y=

1

x2

是“依赖函数”；
②y=2^x“依赖函数”；
③y=lnx是“依赖函数”；
④y=f（x），y=g（x）都是“依赖函数”，且定义域相同，则y=f（x）•g（x）是“依赖函数”．
其中所有真命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：证明题,简易逻辑

分析：理解“依赖函数”的定义，注意关键词：①定义域的每一个值x₁，②都存在唯一的x₂，③f（x₁）f（x₂）=1．逐一验证．

解答： 解：①当x₁=2时，f（x₁）=

1

4

，f（x₂）=4，则x₂=±2，所以y=

1

x2

不是“依赖函数”；不是真命题．
②由2x1•2x2=1知，x₂=-x₁，唯一确定；则y=2^x“依赖函数”；是真命题．
③由于当x₁=1时，ln1=0，不存在x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立，则y=lnx不是“依赖函数”；不是真命题．
④由y=f（x）=

1

x

，y=g（x）=

1

x

都是“依赖函数”，且定义域相同，但y=f（x）•g（x）=

1

x2

不是“依赖函数”．不是真命题．
则真命题有：②．
故答案为：②

点评：本题是给出定义，直接应用的新题，要抓住关键词，是解答此类问题的关键．