Question

对于任意正实数x，记x的整数部分为[x]，如：[4.2]=4．设函数f（x）=x-[x]（x＞0）．
①函数f（x）的图象和直线x+y=2的交点的个数为

 

；
②有n条互相平行的直线l₁：x+y=k（k=1，2，3，…，n）与f（x）的图象相交，则所有交点的横坐标的和为

 

．

Answer 1

考点：函数的图象,函数零点的判定定理

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：画图可知f（x）就是周期为1的函数，且在[0，1）上是一直线y=x的对应部分的含左端点，不包右端点的线段，根据图象，即可得出结论．

解答： 解：函数f（x）=x-[x]（x＞0）的图象，如图所示，
①函数f（x）的图象和直线x+y=2的交点的个数为2个；
②有n条互相平行的直线l₁：x+y=k（k=1，2，3，…，n）与f（x）的图象相交，则所有交点的横坐标的和为0.5+1.5+…+[0.5+（n-1）]
=0.5n+

n(n-1)

2

=

n2

2

故答案为：2，

n2

2

．

点评：本题考查的知识点是函数的图象利用图象法结合数形结合的思想，分析函数图象交点是解答本题的关键，属于中档题．