Question

设定义在R上的函数f（x），满足f（x+2）-f（x）=0，若0＜x＜1时f（x）=2^x，则f（log₂

1

48

）=

 

．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由于f（x+2）-f（x）=0，得到函数f（x）为周期为2的函数，f（log₂

1

48

）可化为f（log₂

4

3

），
再由0＜x＜1时f（x）=2^x，和对数恒等式，即可得到答案．

解答： 解：由于定义在R上的函数f（x），满足f（x+2）-f（x）=0，
即f（x+2）=f（x），则函数f（x）为周期为2的函数，
则f（log₂

1

48

）=f（-log₂48）=f（6-log₂48）=f（log₂

4

3

），
由于0＜x＜1时f（x）=2^x，
又0＜log₂

4

3

＜1，则f（log₂

1

48

）=2log2

4

3

=

4

3

．
故答案为：

4

3

点评：本题考查函数的周期性及运用，考查对数的运算和对数恒等式的运用，属于中档题．