Question

如图所示是三项式系数表排成的三角形，它的特点是每行各数是它肩上三个数之和（肩上无数视为零），每行首尾都是1，则
（Ⅰ）表中第10行第3个数是

 

；
（Ⅱ）表中前n行的各数之和是

 

．

Answer 1

考点：数列的求和,进行简单的合情推理

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）观察三项式系数表排成的三角形知第10行的第3个数是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
（Ⅱ）观察三项式系数表排成的三角形知第n行各项和为3^n-1，由此能求出表中前n行的各数之和．

解答： 解：（Ⅰ）观察三项式系数表排成的三角形知：
第1行的第3个数是0，
第2行的第3个数是1，
第3行的第3个数是3=1+2，
第4行的第3个数是6=1+2+3，
第5行的第3个数是10=1+2+3+4，
…
∴第10行的第3个数是：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45．
（Ⅱ）观察三项式系数表排成的三角形知：
第1行各项和为1=3⁰，
第2行各项和为3=3¹，
第3行各项和为9=3²，
第4行各项和为27=3³，
第5行各项和为81=3⁴，
…
∴第n行各项和为3^n-1，
∴表中前n行的各数之和是：
3⁰+3+3²+…+3^n-1=

1-3n

1-3

=

3n-1

2

．
故答案为：45，

3n-1

2

．

点评：本题考查表中第10行第3个数的求法，考查表中前n行的各数之和的求法，解题时要认真审题，注意总结规律．