Question

【题目】已知函数f（x）＝a（x2﹣1）﹣lnx．

（1）若y＝f（x）在x＝2处的切线与y垂直，求a的值；

（2）若f（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2） .

【解析】

（1）f（x）的定义域为（0，+∞），令f'（2）＝0，解得a；

（2），对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

（1）∵f（x）的定义域为（0，+∞），，

∴f'（2）＝0，即．

（2）∵，

①当a≤0时，f'（x）＜0，∴f（x）在[1，+∞）上单调递减，

∴当x＞1时，f（x）＜f（1）＝0矛盾．

②当a＞0时，，

令f'（x）＞0，得；f'（x）＜0，得．

（i）当，即时，时，f'（x）＜0，即f（x）递减，

∴f（x）＜f（1）＝0矛盾．

（ii）当，即时，x∈[1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）递增，

∴f（x）≥f（1）＝0满足题意．

综上：．