Question

【题目】已知数列{an}的前n项和为Sn ， Sn=n2+2n，bn=anan+1cos（n+1）π，数列{bn} 的前n项和为Tn ， 若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，则实数t的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣5]
【解析】解：n=1时，a1=3．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+2n﹣[（n﹣1）2+2（n﹣1）]=2n+1．n=1时也成立，∴an=2n+1． ∴bn=anan+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π，
n为奇数时，cos（n+1）π=1；n为偶数时，cos（n+1）π=﹣1．
因此n为奇数时，Tn=3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…+（2n+1）（2n+3）=3×5+4×（7+11+…+2n+1）=15+4× =2n2+6n+7．Tn≥tn2对n∈N*恒成立，
∴2n2+6n+7≥tn2 ， t≤ + +2= ，∴t＜2．
n为偶数时，Tn=3×5﹣5×7+7×9﹣9×11+…﹣（2n+1）（2n+3）=﹣4×（5+9+11+…+2n+1）=﹣2n2﹣6n．
∴Tn≥tn2对n∈N*恒成立，∴﹣2n2﹣6n≥tn2 ， t≤﹣2﹣ ，∴t≤﹣5．
综上可得：t≤﹣5．
故答案为：（﹣∞，﹣5]．
n=1时，a1=3．n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1 ， 可得an=2n+1．bn=anan+1cos（n+1）π=（2n+1）（2n+3）cos（n+1）π，n为奇数时，cos（n+1）π=1；n为偶数时，cos（n+1）π=﹣1．对n分类讨论，通过转化利用函数的单调性即可得出．