Question

在内接于半径为R的半圆的矩形中，周长最大的矩形的边长为（　　）

• A、

  R

  2

  和

  3

  2

  R
• B、

  5

  5

  R和

  4 5

  5

  R
• C、

  4

  5

  R和

  7

  5

  R
• D、以上都不对

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：如图所示：矩形的长为2Rcosθ，宽为 Rsinθ，故矩形的周长为4Rcosθ+2Rsinθ=2

5

R sin（θ+∅），矩形的周长的最大时有

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，解出cosθ 和sinθ 的值，即可求得所求．

解答： 解：如图所示：设矩形ABCD，∠AOB=θ，
由题意可得矩形的长为2Rcosθ，宽为 Rsinθ，
故矩形的周长为4Rcosθ+2Rsinθ=2

5

R （

2

5

cosθ+

1

5

sinθ）=2

5

Rsin（θ+∅），
其中，sin∅=

2

5

，cos∅=

1

5

．故矩形的周长的最大值等于2

5

R，此时，sin（θ+∅）=1．
即

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，再由sin²θ+cos²θ=1可得cosθ=

2

5

，sinθ=

1

5

，
故矩形的长为 2R

2

5

=

4 5

5

R，宽为

5

5

R，
故选：B．

点评：本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，正弦函数的值域，得到

2

5

cosθ+

1

5

sinθ=1，是解题的关键．