Question

12．已知函数f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=ax-a．
（1）若函数g（x）的图象与函数f（x）的图象相切，求a的值及切点的坐标；
（2）若m，n∈（0，1]，且m＞n，求证：$\root{mn}{\frac{{m}^{n}}{{n}^{m}}}$＞e^m-n．

Answer 1

分析 （1）设切点为（m，am-a），求得f（x）的导数，求得切线的斜率，由切点在曲线上，可得2mlnm-lnm-m+1=0，m＞0，由h（m）=2mlnm-lnm-m+1，求出导数，求得极值点，也为最值点，即可得到切点和a的值；
（2）运用分析法证明，即证ln$（\frac{{m}^{n}}{{n}^{m}}）^{\frac{1}{mn}}$＞m-n，即为$\frac{1}{mn}$（lnmⁿ-lnn^m）＞m-n，即证$\frac{lnm}{m}$-m＞$\frac{lnn}{n}$-n，由0＜n＜m≤1，可设h（x）=$\frac{lnx}{x}$-x（0＜x≤1），求出导数，判断单调性，即可得证．

解答 解：（1）设切点为（m，am-a），
由f（x）=$\frac{lnx}{x}$的导数为f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
可得切线的斜率为a=$\frac{1-lnm}{{m}^{2}}$，
又am-a=$\frac{lnm}{m}$，
即有2mlnm-lnm-m+1=0，m＞0，
由h（m）=2mlnm-lnm-m+1，
导数h′（m）=2（1+lnm）-$\frac{1}{m}$-1，
在（0，+∞）递增，当m=1时，h′（m）=2（1+0）-1-1=0，
即有m＞1时，h′（m）＞0，h（m）递增；
0＜m＜1时，h′（m）＜0，h（m）递减．
即有m=1时，h（m）取得最小值，且为0，
可得切点为（1，0），且a=1；
（2）证明：要证$\root{mn}{\frac{{m}^{n}}{{n}^{m}}}$＞e^m-n．
即证ln$（\frac{{m}^{n}}{{n}^{m}}）^{\frac{1}{mn}}$＞m-n，
即为$\frac{1}{mn}$（lnmⁿ-lnn^m）＞m-n，
即有$\frac{lnm}{m}$-$\frac{lnn}{n}$＞m-n，
即证$\frac{lnm}{m}$-m＞$\frac{lnn}{n}$-n，
由0＜n＜m≤1，可设h（x）=$\frac{lnx}{x}$-x（0＜x≤1），
由h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$-1=$\frac{1-{x}^{2}-lnx}{{x}^{2}}$，
由0＜x≤1，可得1-x²≥0，lnx≤0，
则h′（x）≥0，可得h（x）在（0，1]递增，
由0＜n＜m≤1，可得$\frac{lnm}{m}$-m＞$\frac{lnn}{n}$-n，
故原不等式成立．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用分析法，构造函数，由导数判断单调性，考查运算和推理能力，属于中档题．