Question

【题目】已知、分别是离心率的椭圆的左右项点，P是椭圆E的上顶点，且.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点.

Answer 1

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

（1）由向量数量积的坐标运算可求得，再由离心率可得，然后求得，得椭圆方程；

（2）当直线的斜率存在时，设直线，，，则，

由直线方程与椭圆方程联立并消元后应用韦达定理得，然后写出直线方程并变形后代入，可得定点坐标，再验证直线斜率不存在时，直线也过这个定点即可．

解：（1）由题意得，，，

则，所以，

又，所以，，所以椭圆E的方程为.

（2）当直线的斜率存在时，设直线，，，则，

由，消去y得.由，

得，所以，.

，

直线的方程为，

即，

因为，，所以，

直线的方程为可化为，则直线恒过定点.

当直线的斜率不存在时，直线也过点，综上知直线恒过定点.