Question

15．长方体的一个顶点所在三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的外接球的表面积是（　　）

• A． 56π
• B． 39π
• C． 36π
• D． 14π

Answer 1

分析 根据题意可得长方体的三条棱长，再结合题意与有关知识可得外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，即可得到球的直径，进而根据球的表面积公式求出球的表面积．

解答 解：因为长方体相邻的三个面的面积分别是2，3，6，
∴长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，2，1，
又因为长方体的8个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是圆的直径，
因为长方体的体对角线的长是：$\sqrt{1+4+9}$=$\sqrt{14}$，
球的半径是：$\frac{\sqrt{14}}{2}$
这个球的表面积：4π•（$\frac{\sqrt{14}}{2}$）²=14π．
故选D．

点评 解决此类问题的关键是熟练掌握常用几何体的结构特征，以及球的内接多面体的有关知识，球的表面积公式，而解决此题的关键是知道球的直径与长方体的体对角线．