Question

4．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，并且顶点到准线的距离等于2．
（1）求这个抛物线的标准方程；
（2）当抛物线开口向右时，直线y=x+m与抛物线交于两不同的点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意，可设抛物线的方程为y²=±2px（p＞0），由顶点到准线的距离等于，可求得p=2，从而可得答案；（2）直线y=x+m与抛物线y²=4x联立，根据直线y=x+m与抛物线交于两不同的点，利用判别式，即可求m的取值范围．

解答 解：（1）：∵抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，
∴抛物线的方程为y²=2px（p＞0）或y²=-2px（p＞0），
又顶点到准线的距离等于2，
∴p=2，
∴抛物线的方程为：y²=4x或y²=-4x；    
 （2）直线y=x+m与抛物线y²=4x联立，可得x²+（2m-4）x+m²=0，
∵直线y=x+m与抛物线交于两不同的点，
∴△=（2m-4）²-4m²＞0．

点评 本题考查抛物线的标准方程，确定抛物线的方程为y²=±2px（p＞0）是关键，考查对抛物线标准方程的性质理解与应用，属于中档题．