Question

16．已知f（x）=log_a$\frac{2+mx}{x-2}$是奇函数（其中a＞1）
（1）求m的值；
（2）判断f（x）在（2，+∞）上的单调性并证明；
（3）当x∈（r，a-2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．

Answer 1

分析 （1）f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0即可求解m的值．
（2）定义证明（2，+∞）上的单调性即可．
（3）利用单调性当x∈（r，a-2）时，f（x）的取值范围恰为（1，+∞），求a与r的值．

解答 解：（1）由题意：f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0，即log_a$\frac{2+mx}{x-2}$+$lo{g}_{a}\frac{2-xm}{-x-2}$=0
∴$\frac{（2+mx）（-mx+2）}{（x-2）（-2-x）}=1$，解得：m=±1，
当m=-1时，f（x）无意义，所以$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}$，
故得m的值为1．
（2）由（1）得$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}$，设2＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=$lo{g}_{a}\frac{{x}_{2}+2}{{x}_{2}-2}$-$lo{g}_{a}\frac{{x}_{1}+2}{{x}_{1}-2}$=$lo{g}_{a}\frac{{x}_{1}{x}_{2}+2（{x}_{1}-{x}_{2}）-4}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}-{x}_{2}）-4}$
∴2＜x₁＜x₂，∴0＜2x₁x₂+2（x₁-x₂）-4＜x₁x₂-（x₁-x₂）-4，
∵a＞1，∴f（x₂）＜f（x₁）
所以：函数f（x）在（2，+∞）上的单调减函数．
（3）由（1）得$f（x）=lo{g}_{a}\frac{x+2}{x-2}$，
∴$\frac{2+x}{x-2}＞0$得，函数f（x）的定义域为（-∞，-2）∪（2，+∞）
又∵$\frac{x+2}{x-2}≠1$，得f（x）∈（-∞，0）∪（0，+∞）
令f（x）=1，则$\frac{x+2}{x-2}$=，解得：$x=\frac{2+2a}{a-1}$．
所以：f（$\frac{2+2a}{a-1}$）=1
当a＞1时，$\frac{2+2a}{a-1}$＞2，此时f（x）在在（2，+∞）上的单调减函数．
所以：当x∈（2，$\frac{2+2a}{a-1}$）时，得f（x）∈1，+∞）；
由题意：r=2，那么a-2=$\frac{2+2a}{a-1}$，解得：a=5．
所以：当x∈（r，a-2），f（x）的取值范围恰为（1，+∞）时，a和r的值分别为5和2．

点评 本题考查了对数的性质及运用，单调性的证明以及求定义域和值域的对应关系．属于难题．