Question

15．如图，在正四棱锥P-AMDE，底面AMDE的边长为2，侧棱PA=$\sqrt{5}$，B，C分别
为AM，MD的中点．F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD，PC，PM分别交于点G，H，K．
（1）求证：AB∥FG；
（2）求正四棱锥P-AMDE的外接球的表面积．

Answer 1

分析 （1）证明AB∥平面PDE，即可证明AB∥FG；
（2）由正四棱锥P-AMDE的对称性，得正四棱锥P-AMDE得外接球球心在线段PO′上，利用勾股定理求出球的半径，即可求正四棱锥P-AMDE的外接球的表面积．

解答 （1）证明：在正方形AMDE中，因为B是AM的中点，所以AB∥DE．
又因为AB?平面PDE，DE?平面PDE
所以AB∥平面PDE．
因为AB?平面ABF，且平面ABF∩平面PDE=FG，
所以AB∥FG．
（2）解：连接AD，EM，相交于O′，易得AO′=$\sqrt{2}$，PO′=$\sqrt{3}$．
由正四棱锥P-AMDE的对称性，
得正四棱锥P-AMDE得外接球球心在线段PO′上，
不妨设为O点．设OA=OP=R，则OO′=$\sqrt{3}$-R，
∵AO²=AO′²+OO′²，
∴R²=2+（$\sqrt{3}$-R）²，
∴R=$\frac{5\sqrt{3}}{6}$
∴S=4πR²=$\frac{25π}{3}$，
∴正四棱锥P-AMDE的外接球的表面积为$\frac{25π}{3}$．

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查正四棱锥P-AMDE的外接球的表面积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．