Question

4．已知f（$\frac{x-1}{x+1}$）=-x-1．
（1）求f（x）；
（2）求f（x）在区间[2，6]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）令t=$\frac{x-1}{x+1}$，则x=$\frac{-t-1}{t-1}$，代入即可得到f（x）的解析式；
（2）运用定义判断f（x）在[2，6]的单调性，计算即可得到所求函数的最值．

解答 解：（1）令t=$\frac{x-1}{x+1}$，则x=$\frac{-t-1}{t-1}$，
∴f（t）=$\frac{2}{t-1}$，
∴f（x）=$\frac{2}{x-1}$（x≠1）…（4分）
（2）任取x₁，x₂∈[2，6]，且x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{x}_{1}-1}$-$\frac{2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（{x}_{1}-1）（{x}_{2}-1）}$，
∵2≤x₁＜x₂≤6，∴（x₁-1）（x₂-1）＞0，2（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x）在[2，6]上单调递减，…（10分）
∴当x=2时，f（x）_max=2，当x=6时，f（x）_min=$\frac{2}{5}$…（12分）

点评 本题考查函数的解析式的求法，考查函数的最值的求法，注意运用函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．