Question

20．若函数f（x）=（k+2）a^x+2-b（a＞0，且a≠1）是指数函数
（1）求k，b的值；
（2）求解不等式f（2x-7）＞f（4x-1）

Answer 1

分析 （1）根据指数函数的定义求出k，b的值即可；
（2）问题转化为a^2x-7＞a^4x-1，通过讨论a的范围，得到关于x的不等式，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=（k+2）a^x+2-b（a＞0，且a≠1）是指数函数，
∴k+2=1且2-b=0．…（2分）
∴k=-1且b=2…（4分）
（2）由（1）得f（x）=a^x（a＞0，且a≠1），
则f（2x-7）＞f（4x-1）即a^2x-7＞a^4x-1…（6分）
①当a＞1时，f（x）=a^x单调递增，
则不等式等价于2x-7＞4x-1，解得x＜-3，…（9分）
②当0＜a＜1时，f（x）单调递减，
则不等式等价于2x-7＜4x-1，解得x＞-3，…（11分）
综上，当a＞1时，不等式解集为{x|x＜-3}；
当0＜a＜1时，不等式解集为{x|x＞-3}…（12分）

点评 本题考查了指数函数的定义，考查指数函数的性质以及分类讨论思想，是一道中档题．