【题目】已知函数.
(1)若函数的最大值是,求的值;
(2)已知,若存在两个不同的正数,当函数的定义域为时,的值域为,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)对分类讨论,当时,令,根据二次函数的性质计算可得;
(2)令,则 ,即可判断函数的单调性,函数的定义域为时,的值域为,可转化为函数与有两个正交点,即有两个正根,即有两个大于1的根,再根据一元二次方程的根的分布得到不等式组,即可解得.
解:(1)当时,,不合题意;
时,令,
设,则.
①若开口向上没有最大值,故无最大值,不合题意;
②当时,且此时对称轴,函数的最大值是,
所以,
解得或(舍),
所以.
(2)当时,设,则的对称轴,
所以当时为增函数,即为增函数.
所以函数的定义域为时,的值域为,
可转化为函数与有两个正交点,
即有两个正根.
即,设,
所以,
即有两个大于1的根.
所以解得,
所以实数的取值范围是.
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【题目】观察下表:
1,2,3,
4,5,6,7,8,
9,10,11,12,13,14,15,
16,17,18,19,20,21,22,23,24,
……
问:(1)此表第行的第一个数与最后一个数分别是多少?
(2)此表第行的各个数之和是多少?
(3)2019是第几行的第几个数?
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【题目】暑假期间,某旅行社为吸引中学生去某基地参加夏令营,推出如下收费标准:若夏令营人数不超过30,则每位同学需交费用600元;若夏令营人数超过30,则营员每多1人,每人交费额减少10元(即:营员31人时,每人交费590元,营员32人时,每人交费580元,以此类推),直到达到满额70人为止.
(1)写出夏令营每位同学需交费用(单位:元)与夏令营人数之间的函数关系式;
(2)当夏令营人数为多少时,旅行社可以获得最大收入?最大收入是多少?
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【题目】如图,PQ为某公园的一条道路,一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切,记其圆心为O,切点为G.为参观方便,现新修建两条道路CA、CB,分别与圆O相切于D、E两点,同时与PQ分别交于A、B两点,其中C、O、G三点共线且满足CA=CB,记道路CA、CB长之和为.
(1)①设∠ACO=,求出关于的函数关系式;②设AB=2x米,求出关于x的函数关系式.
(2)若新建道路每米造价一定,请选择(1)中的一个函数关系式,研究并确定如何设计使得新建道路造价最少.
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【题目】已知函数是偶函数.
(1)求实数的值;
(2)当时,函数存在零点,求实数的取值范围;
(3)设函数,若函数与的图像只有一个公共点,求实数的取值范围.
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【题目】命题p:方程表示焦点在y轴上的椭圆,其离心率的范围是,
命题q:某人射击,每枪中靶的概率为,他连续射击两枪至少有一枪中靶的概率超过,若复合命题:非p为真,p或q为真,求实数的取值范围.
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【题目】下图是我国2010年至2016年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图
注:年份代码1~7分别对应年份2010~2016
(1)由折线图看出,可用线性回归模型拟合y与t的关系,请求出相关系数r,并用相关系数的大小说明y与t相关性的强弱;
(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01),预测2018年我国生活垃圾无害化处理量.
附注:
参考数据:,,, .
参考公式:
相关系数
回归方程 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
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【题目】《张丘建算经》是中国古代数学名著.书中有如下问题;“今有十等人大官甲等十人.宫赐金依次差降之.上三人先入,得金四斤,持出;下四人后入,得金三斤,持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问各得金几何及未到三人复应得金几何.”其意思为:“宫廷依次按照等差数列赏赐甲乙丙丁戊己庚辛壬癸十位官员,前面甲乙丙三人进来,共领到四斤黄金之后,便拿着离开了;接着庚辛壬癸四人共领到三斤黄金后,也拿着离开了;中间丁戊己三人没到,也要按照应分得的数量留给他们.问这十人各得黄金多少,并问没到的三人共应该得到多少黄金.”丁戊己三人共应得黄金的斤数为( )
A.3B.C.D.
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