Question

已知椭圆C：＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G： (c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.

(1) 若椭圆C经过两点，求椭圆C的方程；

(2) 当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求的值(O是坐标原点)；

(3) 若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．

Answer 1

 (1) 解：令椭圆mx²＋ny²＝1，其中m＝，n＝，得所以m＝，n＝，即椭圆方程为＝1.

(2) 证明：直线AB：＝1，设点P(x₀，y₀)，则OP的中点为，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为，化简为x²－x₀x＋y²－y₀y＝0，与圆x²＋y²＝作差，即直线MN：x₀x＋y₀y＝.

 (3) 解：由直线AB与圆G：x²＋y²＝(c是椭圆的焦半距)相离，则，即4a²b²＞c²(a²＋b²)，4a²(a²－c²)＞c²(2a²－c²)，得e⁴－6e²＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e²＜3－　①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以≤c，a²b²≤c²(a²＋b²)，a²(a²－c²)≤c²(2a²－c²)，得e⁴－3e²＋1≤0.因为0＜e＜1，所以≤e²＜1　②.

由①②得.