Question

4．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=$\sqrt{2}$，BC=AA₁=1，点P为对角线AC₁上的动点，点Q为底面ABCD上的动点（点P，Q可以重合），则B₁P+PQ的最小值为$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 将△AB₁C₁绕边AC₁旋转到AMC₁位置，使得平面AMC₁和平面ACC₁在同一平面内，则M到平面ABCD的距离即为B₁P+PQ的最小值，利用勾股定理解出即可．

解答 解：将△AB₁C₁绕边AC₁旋转到AMC₁位置，使得平面AMC₁和平面ACC₁在同一平面内，
过点M作MQ⊥平面ABCD，交AC₁于P，垂足为Q，则MQ为B₁P+PQ的最小值．
∵AB=$\sqrt{2}$，BC=AA₁=1，
∴AC₁=$\sqrt{2+1+1}$=2，AM=AB₁=$\sqrt{3}$，
∵sin∠C₁AC=$\frac{C{C}_{1}}{A{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠C₁AC=30°，
∴∠MAQ=2∠C₁AC=60°，
∴MQ=AM•sin∠MAQ=$\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{2}$．
故答案为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了空间距离的计算，将两线段转化为同一平面上是解决最小值问题的一般思路，属于中档题．