Question

19．通过观察下面两等式的规律，请你写出一般性的命题：
sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$
sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$
sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 已知条件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$，sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$．可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．

解答 解：由已知中sin²30°+sin²90°+sin²150°=$\frac{3}{2}$，sin²5°+sin²65°+sin²125°=$\frac{3}{2}$．
归纳推理的一般性的命题为：
sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{3}{2}$．
证明如下：
左边=$\frac{1-cos（2α-120°）}{2}$+$\frac{1-cos2α}{2}$+$\frac{1-cos（2α+120°）}{2}$
=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=$\frac{3}{2}$=右边．
∴结论正确．
故答案为：sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了归纳推理，归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证，属于基础题．