Question

已知向量

a

=（cos2x，1），

b

=（1，sin2x），x∈R，函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求函数f（x）的最小正周期：
（2）若f（

a

2

+

π

8

）=

3 2

5

，求cos2a的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：（1）求出函数f（x）的解析式，f（x）=

2

sin(2x+

π

4

)．进而得到函数f（x）的最小正周期．
（2）根据已知条件求出cosα=

3

5

．再利用倍角公式即可得到cos2a的值．

解答： 解：（1）f(x)=

a

•

b

=（cos2x，1）•（1，sin2x）
=cos2x+sin2x
=

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)
=

2

sin(2x+

π

4

)．
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）f（

a

2

+

π

8

）=

2

sin(α+

π

2

)
=

2

cosα=

3 2

5

．
则cosα=

3

5

．
∴cos2α=2cos²α-1
=2×

9

25

-1
=-

7

25

．

点评：本题考查三角函数的基本性质，平面向量基本定量，三角函数恒等变换等知识的综合应用，属于中档题．