【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
的零点;
(2)当,求函数
在
上的最大值;
(3)对于给定的正数a,有一个最大的正数,使
时,都有
,试求出这个正数
,并求它的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
,
.
【解析】
(1)根据函数零点的定义可解得;
(2)先对分
和
两种情况讨论,然后对
再分
和
两种情况讨论,结合二次函数可求得;
(3)因为时,
,故问题只需在给定的区间内
恒成立,再按照
和
两种情况分类讨论,即可得到结论.
(1)令,得
,
当时,方程化简为:
,
解得: (舍去)或
(舍),
当时,方程化简为:
,
解得:(舍去),或
,
∴.
(2)当时,因为
,所以
在
时取得最大值1;
当时,
,其对称轴为
,
若,即
时,
在
上的最大值为
,
若即
时,
在
上的最大值为
,
综上所述:函数在
上的最大值为
(3)∵当时,
,故问题只需在给定的区间内
恒成立,
由,分两种情况讨论:
当时,即
时,
是方程
的较小根
当时,即
时,
是方程
的较大根,
综上,且
.
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【题目】已知点,直线
:
,
为平面上的动点,过点
作直线
的垂线,垂足为
,且满足
.
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点作直线
与轨迹
交于
,
两点,
为直线
上一点,且满足
,若
的面积为
,求直线
的方程.
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【题目】过双曲线的左焦点
作圆
的切线,切点为
,延长
交双曲线右支于点
.若线段
的中点为
,
为坐标原点,则
与
的大小关系是( )
A. B.
C. D. 无法确定
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【题目】给出下列命题,其中错误命题的个数为( )
(1)直线与平面
不平行,则
与平面
内的所有直线都不平行;
(2)直线与平面
不垂直,则
与平面
内的所有直线都不垂直;
(3)异面直线、
不垂直,则过
的任何平面与
都不垂直;
(4)若直线和
共面,直线
和
共面,则
和
共面
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】在直角坐标系中,曲线
(
为参数),直
(
为参数),以
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求与
的极坐标方程;
(2)当时,直线
与
相交于
两点;过点
作
的垂线
,
与曲线
的另一个交点为
,求
的最大值.
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【题目】设函数.
(1)当时,求曲线
在
处的切线方程;
(2)当时,求函数
的单调区间;
(3)在(2)的条件下,设函数,若对于
,
,使
成立,求实数
的取值范围.
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