Question

6．已知$P：?x∈R，{2^{-x}}+\frac{8}{{{2^{-x}}}}≥4\sqrt{2}，q：?{x_0}∈（0，+∞），{2^{x_0}}=\frac{1}{2}$，则下列判断正确的是（　　）

• A． p是假命题
• B． q是真命题
• C． p∧（￢q）是真命题
• D． （￢p）∧q是真命题

Answer 1

分析 对于命题p：利用指数函数的性质、基本不等式的性质即可判断出真假．对于命题q：当且仅当x₀=-1时，${2}^{-1}=\frac{1}{2}$，即可判断出真假．

解答 解：对于命题p：?x∈R，2^-x＞0，∴${2}^{-x}+\frac{8}{{2}^{-x}}$≥2$\sqrt{{2}^{-x}•\frac{8}{{2}^{-x}}}$=4$\sqrt{2}$，当且仅当x=-$\frac{3}{2}$时取等号．
对于命题q：当且仅当x₀=-1时，${2}^{-1}=\frac{1}{2}$，因此q是假命题．
∴只有p∧（￢q）是真命题．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．