Question

18．已知函数f（x）=x-ae^x，a∈R（e为自然对数的底数）．
（1）若曲线y=f（x）在x=1处的切线与直线y=2x+4平行，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若函数f（x）有两个零点x₁，x₂，且x₁＜x₂．求证：x₁+x₂＞2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，得到1-ae=2，解出即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（3）先得到lnx₁=lna+x₁，lnx₂=lna+x₂，方法一：．由${x_2}-{x_1}=ln{x_2}-ln{x_1}=ln\frac{x_2}{x_1}$．设$\frac{x_2}{x_1}=t$，解得x₁，x₂，问题转化为证明（t+1）lnt＞2（t-1）即可；
方法二：由lnx₁-x₁=lnx₂-x₂=lna，设g（x）=lnx-x-lna，根据函数的单调性得到0＜x₁＜1＜x₂，设h（x）=g（x）-g（2-x），（0＜x＜1），结合h（x）的单调性证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=1-ae^x…（2分）
由条件知f′（1）=2即1-ae=2，得a=-$\frac{1}{e}$…（4分）
（2）由（1）知f′（x）=1-ae^x，
当a≤0时，f′（x）＞0在x∈R上恒成立，此时f（x）在R上单调增…（6分）
当a＞0时，由f'（x）=0解得x=-lna
当x＜-lna时，f'（x）＞0，f（x）单调增，
当x＞-lna时，f'（x）＜0，f（x）单调减…（8分）
综上所述：当a≤0时，f（x）单调增区间为（-∞，+∞），无单调减区间；
当a＞0时，f（x）单调增区间为（-∞，-lna），单调减区间为（-lna，+∞）…（10分）
（3）由（2）知，若函数f（x）有两个零点，则a＞0
由条件知${x_1}=a{e^{x_1}}，{x_2}=a{e^{x_2}}$，所以0＜x₁＜x₂．
可得lnx₁=lna+x₁，lnx₂=lna+x₂．
方法一：．故${x_2}-{x_1}=ln{x_2}-ln{x_1}=ln\frac{x_2}{x_1}$．
设$\frac{x_2}{x_1}=t$，则t＞1，且$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={tx}_{1}}\\{{x}_{2}{-x}_{1}=lnt}\end{array}\right.$，解得x₁=$\frac{lnt}{t-1}$，x₂=$\frac{tlnt}{t-1}$．
x₁+x₂=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$…（12分）
要证：x₁+x₂=$\frac{（t+1）lnt}{t-1}$＞2，即证明（t+1）lnt＞2（t-1），
即证明（t+1）lnt-2t+2＞0，
设g（t）=（t+1）lnt-2t+2（t＞1）…（14分）
g′（t）=lnt+$\frac{1}{t}$-1，令h（t）=g′（t），（t＞1），则h′（t）=$\frac{t-1}{{t}^{2}}$＞0，
所以h（t）在（1，+∞）上单调增，g′（t）=h（t）＞h（1）=0，
所以g（t）在（1，+∞）上单调增，
 则g（t）＞g（1）=0．即t＞1时，（t+1）lnt-2t+2＞0成立，
所以x₁+x₂＞2．…（16分）
方法二：则lnx₁-x₁=lnx₂-x₂=lna，
设g（x）=lnx-x-lna，则x₁，x₂为g（x）的两个零点，
$g'（x）=\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，易得g（x）在（0，1）上单调增，在（1，+∞）上单调减，
所以0＜x₁＜1＜x₂…．．…（12分）
设h（x）=g（x）-g（2-x），（0＜x＜1），
则h（x）=lnx-ln（2-x）+2-2x（0＜x＜1），
h′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2-x}$-2=$\frac{{2（x-1）}^{2}}{x（2-x）}$＞0恒成立，则h（x）在（0，1）上单调增，
所以h（x）＜h（1）=0，所以h（x₁）=g（x₁）-g（2-x₁）＜0，
即g（x₁）＜g（2-x₁），即g（x₂）＜g（2-x₁）…（14分）
又g（x）在（1，+∞）上单调减，x₂，2-x₁∈（1，+∞），所以x₂＞2-x₁，即x₁+x₂＞2（16分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道综合题．